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Settore Informazione-Sezione B-I Prova-Automatica

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Il candidato illustri brevemente la definizione e l’impiego dei diagrammi di Bode per sistemi dinamici SISO (Single Input Single Output) lineari tempo invarianti.

Bis - Il candidato illustri il concetto di analisi armonica per sistemi lineari tempo invarianti introducendo i diagrammi cartesiani di Bode.

Ter - Il candidato illustri l’analisi armonica dei segnali, discutendone l’utilità e riportando un esempio pratico.

Quater - Definire la funzione di risposta armonica di un sistema lineare, illustrandone brevemente il significato fisico.


Questa domanda è apparsa anche nella sezione A. La risposta può essere trovata qui




Il candidato illustri nel dettaglio una tecnica per valutare la stabilità di un sistema dinamico SISO (Single Input Single Output) lineare tempo invariante (ad esempio il criterio di Routh, il criterio di Bode, il criterio di Nyquist…).


Criterio di Routh: Il criterio è strettamente legato alla regola di Cartesio. Essa (sinteticamente) afferma che un polinomio di secondo grado ha tante radici a parte reale positiva quanti sono i cambiamenti di segno tra due coefficienti consecutivi,

Il Criterio di Routh è una generalizzazione della regola di Cartesio, mediante l'utilizzo delle matrici. Dato un polinomio in forma generale del tipo:a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \ldots + a_0 = 0 nel quale si assuma an > 0, si può costruire la seguente tabella:

\begin{matrix} 
a_n & a_{n-2} & \ldots & a_1 \\
a_{n-1} & a_{n-3} & \ldots & a_0 \\
b_{n-1} & b_{n-2} & \ldots & \\
c_{n-2} & c_{n-3} & & \\
\end{matrix}

in cui gli elementi bi e ci si calcolano nel seguente modo:
b_{n-1} = \frac{
\begin{vmatrix}
a_n & a_{n-2} \\
a_{n-1} & a_{n-3}
\end{vmatrix}
}{-a_{n-1}}

b_{n-2} = \frac{\begin{vmatrix}
a_n & a_{n-4} \\
a_{n-1} & a_{n-5}
\end{vmatrix}}{-a_{n-1}}

c_{n-2} = \frac{\begin{vmatrix}
a_{n-1} & a_{n-3} \\
b_{n-1} & b_{n-2}
\end{vmatrix}}{-b_{n-1}}

c_{n-3} = \frac{\begin{vmatrix}
a_{n-1} & a_{n-5} \\
b_{n-1} & b_{n-3}
\end{vmatrix}}{-b_{n-1}}

Ossia, ogni elemento corrisponde al rapporto tra il determinante della matrice (2x2) composta dagli elementi delle due righe superiori, nella prima colonna e nella colonna successiva a quella dell'elemento, ed il primo coefficiente (cambiato di segno) della riga immediatamente sopra l'elemento che si sta calcolando.

Una volta giunti al termine della costruzione della tabella, la determinazione del segno della parte reale delle radici è molto semplice. È infatti sufficiente contare il numero di cambi di segno dei coefficienti nella prima colonna della tabella e quel numero coinciderà con le radici a parte reale positiva. Nel caso in cui un termine della prima colonna è nullo, possiamo risolvere con quattro diversi metodi.

  • Sostituendo allo 0 il simbolo ε a rappresentare un numero molto piccolo, tendente a 0^{+} o a Errore del parser (errore lessicale): 0^{ −}
come se stessimo perturbando un poco il sistema.Se gli altri numeri della prima colonna sono tutti positivi allora Errore del parser (errore lessicale): ε→0^{+}
Se gli altri numeri della prima colonna sono tutti negativi allora Errore del parser (errore lessicale): ε→0^{ -}
Altrimenti devo considerare entrambi i casi Errore del parser (errore lessicale): ε→0^{+}
ed Errore del parser (errore lessicale): ε→0^{ −}


Ad esempio: s^{5} + 2s^{4} + 2s^{3} + 4s^{2} + 3s
\begin{matrix} 
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 0 \\
0 & 3 & \\
\end{matrix}
diventa sostituendo lo 0 con Errore del parser (errore lessicale): ε→0^{+}
<br />\begin{matrix} 
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 0 \\
\epsilon & 3 & \\
\frac{4\epsilon-6}{\epsilon} & 0 & \\
3 &   & \\
\end{matrix}

si vede chiaramente che ε > 0 ma \frac{4\epsilon-6}{\epsilon} < 0

Tale metodo è a rigore giustificato solamente quando il polinomio non ha zeri sull'asse immaginario.

  • Si può moltiplicare il polinomio dato per un binomio con zero negativo (si aggiunge così uno zero negativo al polinomio, permettendo di analizzare i segni degli altri zeri): essendo p(s) il polinomio originale, si passa a studiare il polinomio p'(s) = P(s)(s + 1)

    Ad esempio: s^{4} + 2s^{3} + 3s^{2} + 6s + 4


    \begin{matrix} 
1 & 3 & 4 \\
2 & 6 & 0 \\
0 & 4 & \\
\end{matrix}

    quindi possiamo aggiungere, per esempio, uno zero in -1:
    (s^{4} + 2s^{3} + 3s^{2} + 6s + 4) * (s + 1) = s^{5} + 3s^{4} + 5s^{3} + 9s^{2} + 10s + 4

    \begin{matrix} 
1 & 5 & 10 \\
3 & 9 & 4 \\
2 & \frac{26}{3} & 0 \\
-4 & 4 & \\
\frac{32}{3} & 0 & \\
4 & & \\
\end{matrix}
  • È applicabile anche in presenza di più zeri consecutivi sulla stessa riga. Consiste nel sostituire la riga in questione con la stringa di numeri ottenuti sommando all'i-esimo elemento della riga l'elemento di posto (i+j) nella stessa riga moltiplicato per Errore del parser (errore lessicale): ( − 1)^{j}

, essendo j il numero dei primi elementi nulli.
Ad esempio: s^{5} + 5s^{3} + 10s + 4

\begin{matrix} 
1 & 5 & 10 \\
0 & 0 & 4 \\
 & & \\
\end{matrix}

Al posto del primo 0 si prende 4 (che è il primo elemento non nullo della riga) e lo si moltiplica per Errore del parser (errore lessicale): ( − 1)^{2}

essendo 2 i zeri consecutivi prima del 4.

\begin{matrix} 
1 & 5 & 10 \\
4 & 0 & 4 \\
5 & 9 & 0 \\
-\frac{36}{5} & 4 & \\
\frac{106}{9} & 0 & \\
4 & & \\
\end{matrix}
  • Può accadere che tutti i termini di una riga siano nulli solo se la riga è di ordine dispari; infatti le due righe precedenti devono essere proporzionali e quindi devono avere lo stesso numero di elementi (si noti che nel passare da una riga dispari ad una pari sottostante il numero di elementi non cambia). In questa circostanza si può concludere che il polinomio considerato è il prodotto di due polinomi: il primo avrà zeri che hanno parte reale caratterizzata dalle variazioni di segno degli elementi della prima colonna della tabella sinora costruita (gli zeri di p1(s) a parte reale positiva sono tanti quante le variazioni di segno che sono apparse nella prima colonna della tabella costruita fino a quel momento); il secondo polinomio p2(s) (che si chiama equazione ausiliaria) è di grado uguale all'indice della riga che precede la riga che si è annullata, ha solo potenze di grado pari ed i suoi coefficienti sono nell'ordine da quello di grado massimo a quello di grado 0, i coefficienti della riga che precede quella che si è annullata.

    Ad esempio: p(s) = s^{5} + s^{4} + 3s^{3} + 3s^{2} + s + 1

    \begin{matrix} 
1 & 3 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
0 & 0 & \\
\end{matrix}

     p(s) = p1(s) * p2(s)
    p1(s) è di primo grado ed ha uno zero negativo, p2(s) di grado 4 con potenze solo di ordine pari:

    p2(s) = s4 + 3s2 + 1

    Per p2(s) possiamo calcolare gli zeri, ma nel caso il grado fosse troppo alto potrebbero esserci difficoltà. Allora la costruzione della tabella può riprendere in un altro modo. Si deriva p2(s)

     p2'(s) = 4s3 + 6s

    e ai coefficienti della riga nulla (in questo caso la 3a) si sostituiscono questi nuovi coefficienti:

    \begin{matrix} 
1 & 3 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
4 & 6 & 0 \\
\frac{3}{2} & 1 & \\
\frac{10}{3} & 0 & \\
1 & & \\
\end{matrix}

    Si osservi che gli zeri del polinomio p2(s), con potenze di grado solo pari, hanno una doppia simmetria rispetto a ciascun asse del piano complesso. Questo assicura che se non vi sono zeri a parte reale positiva tutti si trovano sull'asse immaginario.Più precisamente la seconda parte della tabella deve essere così interpretata: si contano solo le variazioni di segno corrispondenti alle --> radici a parte reale positiva (np); nn = np sono le --> radici a parte reale negativa (data la doppia simmetria detta anche simmetria quadrantale) se l'equazione ausiliaria è di grado n, allora le rimanenti (n - np -na) radici si trovano sull'asse immaginario. Nel nostro esempio l'equazione ausiliaria è di grado 4 --> n = 4. Le variazioni sono np = 0 --> 0 radici a parte reale negativa ==> na = 0 radici a parte reale negativa --> (4 - 0 - 0) = 4 radici sull'asse immaginario




Criterio di Nyquist:Tale criterio discende direttamente dall'applicazione del criterio di Mikhailov (metodo grafico per la determinazione della stabilità di polinomi) ai denominatori della funzione di trasferimento in anello aperto e chiuso in retroazione negativa unitaria, ed è di facile dimostrazione. Si danno qui due enunciati, il primo supponendo il sistema privo di poli immaginari puri, il secondo con essi inclusi.

  • Dato un sistema avente una funzione di trasferimento G(s) priva di poli a parte reale nulla, condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema in retroazione negativa unitaria sia asintoticamente stabile, è che il diagramma di Nyquist completo della G(s) circondi - senza toccarlo - il punto (-1+j0), dove j è l'unità immaginaria, in senso antiorario tante volte quanti sono i poli con parte reale positiva della G(s).

Più in generale:

  • Il sistema in retroazione è asintoticamente stabile se e solo se il diagramma polare completo della G(s) compie attorno al punto (-1+j0) - senza toccarlo - tanti giri in senso antiorario quanti sono i poli di G(s) a parte reale positiva, e tanti mezzi giri in senso antiorario (anche senza circondare il punto -1+j0) quanti sono i poli immaginari puri.

Criterio di Bode:Dato un sistema reazionato negativamente con funzione di trasferimento d'anello L(s) è stabile se:

  • L(s) non ha poli con parte reale maggiore di zero;
  • il diagramma di Bode del modulo di L(jw ) taglia l'asse a 0 dB una ed una sola volta con pendenza -20dB/dec;




Il candidato illustri vantaggi e svantaggi del controllo in retroazione rispetto al controllo in catena aperta.


Questa domanda è apparsa anche nella sezione A. La risposta può essere trovata qui




Il candidato illustri i principali parametri utilizzati per definire le specifiche e valutare le performance di un sistema dinamico stabile, in ambito temporale e/o frequenziale.




Facendo riferimento ad un sistema di controllo in retroazione, si descriva il rapporto esistente tra le caratteristiche frequenziale della funzione d’anello (frequenza di taglio e margine di fase) e le caratteristiche temporali della risposta al gradino del sistema in anello chiuso.



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